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以错纠错的研究论文
以错纠错的研究论文 “以错纠错”的案例分析 文/罗增儒 在文[1]中,笔者认为:“学生在解题中出错是学习活动的必然现象,教 师对错例的处理是解题教学的正常业务,并且,错例剖析具有正例示范所不可替 代的作用,两者相辅相成构成完整的解题教学”.下面发生在特级教师身上的“以 错纠错”现象,竟能在多家刊物延续十年之久,则促使笔者进一步思考:错例分 析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求. 一、出示案例 我们先引述3处典型做法. 1.早在1990年,文[2]曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消 极影响”;然后在文[3]、[4]中表达了同样的看法.最近(2001年5月)又在 文[5]中将欠妥的认识原原本本发表出来(见原文例4):
例1若(3an+4bn)=8,(6an-bn)=1,求(3an+bn). 学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉,受其影响,产生了下列 错误解法:
由 (3an+4bn)=8, (6an-bn)=1. 得 3an+4bn=8,① 6an-bn=1.② ①×2-②,可得bn=15/9, 并求得an=4/9. ∴(3an+bn)=3an+bn=12/9+15/9=3. 这是一种错误的解法.因为按照极限运算法则,若an=A,bn=B,则 才有(an+bn)=an+bn=A+B.反之不真,而由(3an+bn)=8, (6an-bn)=1, 不一定保证an与bn存在.比如 an=4/3+(1/3)n2,bn=1-(1/4)n2, 则有(3an+4bn)=8, 但是an与bn均不存在极限. 正解:(3an+bn)=(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn) =8/3+1/3=3. 某些法则或定理,其结论是在限定条件下产生的.如果平时练习,限定条 件的问题练多了,就容易忽视限定条件,造成对法则、定理理解的偏差,产生定 势思维.教师在课堂教学时,应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第 一位讲,就是让学生认识到条件在结论中的重要地位,把条件与结论等同起来强 调,并通过恰当的反例来说明. 要克服思维定势的消极影响,就要从加强双基教学入手,加强数学基本思 想和方法的训练,排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势,鼓励和 引导学生独立思考、探索最佳解题方法,让学生从不同角度多方位地去考虑问题, 拓展思维的深度与广度.(引文完) 2.数学通报1999年第11期(P.43)文[6]记述了一次公开课:在一次 公开课评比中,有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时,曾举了这样一个 例子(本文记为例2):
例2已知(2an+3bn)=5,(an-bn)=2,求(an+bn).当时有位学生提出这样一种解法:
解:设an=A,bn=B,则由题设可知 (2an+3bn)=2an+3bn=2A+3B=5,① (аn-bn)=an-bn=A-B=2.② 联立①,②解得 A=11/5,B=1/5. ∴(an+bn)=an+bn=A+B=11/5+1/5=12/5. 对于上述解法,这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题:
an和bn一定存在吗 随后,教师鲜明地指出:由题设我们不能判断an和bn是否一定存在,从 而上述解法缺乏依据,是错误的.关于这类问题,我们常用“待定系数法”求解. 另解:设an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)(其中x,y为 待定的系数),则 an+bn=(2x+y)an+(3x-y)bn, 从而有 2x+y=1, 3x-y=1. 解之得x=2/5,y=1/5. ∴an+bn=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn), ∴(an+bn)=[(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)] =(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)=2/5×5+1/5×2=12/5. 这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则,又充分暴露了学生存在的问题,给学生留下了极为深刻的印象,深受评委们的一致好评.(引文完) 3.江苏省常州高级中学(是一所有90年历史的江南名校)数学组根据多年 教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析(高中)》,其第6章题30如下(见 文[7]P.342,本文记为例3):
例3已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,求(2an+bn)之值. 误解:∵(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4, ∴ 2an+3bn=7,① 3an-2bn=4.② ①×2+②×3,得 13an=26, ∴an=2. 代入式①,得 bn=1. ∴(2an+bn)=2an+bn=2×2+1=5. 正确解法:设m(2an+3bn)+p(3an-2bn)=k(2an+bn). 其中m,p,k均为待定的整数,则比较an,bn的系数得 2m+3p=2k,① 3m-2p=k.② 由式①、②消去k,得 2m+3p=2(3m-2p)=6m-4p,∴4m=7p. 当m,p分别取7和4时,k=13. ∴2an+bn=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn). ∴(2an+bn)=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn) =7/13×7+4/13×4=5. 错因分析与解题指导:已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,并 不意味着an、bn存在,在误解中利用数列极限的运算法则:(an±bn)=a n±bn,默认an与bn存在,这是错误的.要求(2an+bn),就必须将2an +bn去用(2an+3bn)与(3an-2bn)表示出来,为此可以用如正确解答 中那样用待定系数法来解.显然m、p的值不是惟一的,但是对不同的m、p之 值求得的极限值是相同的,因此可以取使计算较为方便的整数值.(引文完) 以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别,而教师(包括评委)的 看法是完全一致的.类似的看法还可参见文[8]~[12]. 虽然,大家的看法如此一致,如此长久,但文[6]的作者仍能力排众议, 大声发问:“由题设,真的不能判断an和bn是否存在吗”回答是否定的.教师的 “纠错”比学生错得更多. 二、案例分析 我们以例1为主来进行分析,弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质 和应吸取的教训等. 1.学生解法的认识 学生的解法中有两个合理的成分:其一是能紧紧抓住两个已知条件,综合 使用;
其二是想到运用极限运算法则;
得出的极限值也确为所求. 缺点是默认了an与bn的存在;
也不会整体使用极限运算法则,这可以从 3个方面来分析. (1)知识性错误表现在:没有验证an与bn极限的存在性就使用极限运算法则;
没有证明 或证明不了an与bn极限的存在性;
还不会变通使用(如借用待定系数法)极限 运算法则. (2)逻辑性错误 表现为逻辑上的“不能推出”:跳过an与bn极限存在性的必要前提,直接 使用极限运算法则.但此处仅仅为未验证前提,而并非“前提不真”.对此,“教 师”的错误性质比学生的默认更有问题,下面会谈到. (3)心理性错误 表现为“潜在假设”,默认an与bn极限的存在性,既未想到要证明,更未 给出证明. 由于在已知条件下,an与bn的极限确实存在,所以,学生的错误属于“对 而不全”,缺少了关键步骤. 这个事实说明,学生的学习过程,是以自身已有的知识和经验为基础的主 动建构活动.其“对而不全”的解法,正是学生对该数学问题的一种“替代观念”, 是建构活动的一个产物,既有一定的合理性,又需要完善.接下来的反审活动, 有助于学生掌握元认知知识,获得元认知体验和进行元认知调控. 2.教师认为“不一定保证an与bn存在”是不对的 事实上,在已知条件下,用待定系数法不仅可以求(3an+bn),而且 可以求(αan+βbn),取α=1,β=0或α=0,β=1只不过是一种更简单的特殊 情况.我们来给出一个更一般的结论. 命题1若(α1an+β1bn)=c1,(α2an+β2bn)=c2, 则当a1β2-α2β1≠0时,两个极限an与bn均存在,且 an=c1β2-c2β1/α1β2-α2β1,bn=α1c2-α2c1/α1β2-α2β1. 证明:设 an=x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)=(α1x+α2y)an+(β1x+β2y)bn, 令 α1x+α2y=1, β1x+β2y=0. 解得x=β2/(α1β2-α2β1),y=-β1/(α1β2-α2β1). 从而 [x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)] =x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn) =xc1+yc2=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1). 即an=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1). 同理可确定bn极限的存在性,并计算出 bn=(α1c2-α2c1)/(α1β2-α2β1). (1)取α1=3,β1=4,c1=8,α2=6,β2=-1,c2=1,可得an=4 /9,bn=5/3.这就是例1.也可以用文[2]正解的方法求出 an=[(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)] =(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)=8/27+4/27 =4/9. bn=[(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)] =(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)=16/9-1/9=5 /3. (2)取α1=2,β1=3,c1=5,α2=1,β2=-1,c2=2,这便得例2, 有an=(1/5)(2an+3bn)+(3/5)(an-bn) =1/5×5+3/5×2=11/5, bn=(1/5)(2an+3bn)-(2/5)(an-bn) =1/5×5-2/5×2=1/5. (3)取α1=2,β1=3,c1=7,α2=3,β2=-2,c2=4,这便得例3, 确实有an=2,bn=1. 应该说,求an、bn与求(αan+βbn)道理是一样的,为什么会有这么 多的教师长期坚持“an、bn不一定存在”呢这除有知识、逻辑因素外,而对多数 人来说,恐怕还有一个“人云亦云”,迷信权威、迷信刊物的心理性错误.我们说, 失去自信比缺少知识更为可怕. 3.反例“an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4”的错误根源 上面已经严格证明了an与bn的存在性(以α1β2-α2β1≠0为前提),因 而文[2]作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的,问题是应该找出错误 的原因,弄清错误的性质. (1)检验可以发现错误 把an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4代入已知条件,有 (3an+4bn)=8=8. 但(6an-bn)=(7+9/4n2) 不存在,更不等于1. 所以,文[2]的反例并不能成为反例.其之所以成为反例,是作者根据 不充分的前提(来验证第2个条件)得出的,逻辑上犯有“不能推出”的错误. (2)误举反例的原因分析 ①首先是对题目中有两个条件重视不够,在找反例时,主要依据“若an、 bn存在,则(an+bn)=an+bn,反之不真(思维定势)”.这对只有一个条件是成立的;
据此找出的反例也只验证第1个条件,而不验证第2个条件,这可 能也是“反之不真”思维定势的负迁移. ②其次是对下面的结论不知道,或未认真思考过:
命题2若(α1an+β1bn)=c1,(α2an+β2bn)=c2. 则有 (i)当α1β2-α2β1≠0时,an、bn均存在;
(ii)当α1β2-α2β1=0且α1c2-α2c1=0时,则an,bn的极限不 一定存在.(文[2]的反例适用这一情况) (iii)当α1β2-α2β1=0且α1c2-α2c1≠0,则an,bn的极限均不 存在. 这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的 简单应用. 对比“反例”所表现出来的两个错误根源,我们认为主要还是知识原因,由 于教师没有看透题目的数学实质,从而也没有看透学生的错误性质,所进行的大 段文字分析缺少数学针对性.所以,对每一个教师而言,提高数学专业水平是一 个永无止境的课题. 4.试作一个探究性的教学设计 本文“以错纠错”的例子,持续了10年以上的时间,发表在多家刊物上,还 出现在文[6]正确纠正之后,这对读者、编者和作者都有很多教训,也错过了 一个培养学生创新精神的机会.我们愿在例题数学实质较为清楚的时候,提出一 个教学设计,分为7步. (1)提出问题,暴露学生的真实思想. 其过程是给出例1(或例2、例3等,还可以根据命题2编拟3种类型的例题), 让学生得出不完整的解法. (2)反思,引发认知冲突.教师与学生一起检查每一步的依据,发现使用极限运算法则需要an、bn 的存在性做前提.前提存在吗有两种可能:或举一个反例来否定,或给出一个证 明来肯定. (3)分两大组自主探索,自我反省. 按照证实与证伪可以分两大组,下分小组,每组三五人,让学生在学习共 同体中自主探索,教师巡回指导,这将是一个十分生动的过程. (4)得出an、bn的求法. 这样,学生的求解就完整了.可以分成三步:
①求an=…=4/9;
②求bn=…=15/9;
③求(3an+bn)=…=3. (5)进行解题分析,得出改进解法. 引导学生认识到:
①求an、bn所使用的方法也可以直接用到求(3an+bn)上来. ②先分别求an、bn,再合并得结论(3an+bn)有思维回路:
(3an+4bn)(合) an (分) (6an-bn)(合) bn (3an+bn).(合) 删除中间步骤,可得(3an+bn)=[(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)] =(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)=8/3+1/3=3. (6)探索一般性. ①考虑例1的结论一般化改为,求(αan+βbn);
②考虑条件、结论均一般化,让学生发现命题1(α1β2-α2β1≠0);
③再加一个层次,允许α1β2-α2β1=0,让学生再发现命题2. (7)运用建构主义和元认知的观点(不出现名词)进行总结.