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学龄前儿童计算能力的发展
学龄前儿童计算能力的发展 本文的研究表明，幼儿在数概念发展的同时，计算能力也在逐步地发 展着，而且与数概念的发展有着紧密的联系。幼儿的计算能力也是在各种活动中 以及成人的教育影响下逐步发展起来的。他们在对物体集合的元素反复进行操作 的基础上形成运算的初步概念，逐步掌握计算的方法，并对一些小的数目的计算 逐步达到比较熟练。通过测试研究，幼儿的加、减计算能力的发展大体经历三个阶段。
（一）实物操作阶段（三—四）岁 三岁以下的幼儿，对加、减计算基本上还处于朦胧状态。测试结果表 明，让两岁半以下的幼儿先拿1个木块，再添上1个木块，问一共有几个木块，只 有1/3的儿童能做对。有1/3的儿童不会拿。或者先抓一把，再抓一把；
或者先拿1 个然后又拿走，也说不出有几个。还有1/3的儿童在试者引导下能操作，但说不 清一共有几个木块。如果让儿童先拿 1个，再添上 2个，则只有 16.7%的儿童能 够操作，但说不出一共是3个。有少数儿童还是先拿1个，再拿1个，说一共是2 个。这表明这些幼儿只认识数目2。减法的实物操作有类似的情况。超过两岁半 而不满三岁的幼儿，83.3%能进行“1+1”“2-1”的实物操作，但当试者提出 “1+2”“4-2”之类的实物操作要求时，能做对的很少。在出示需要用“1+1”或“2-1” 计算的实际问题时，两岁半以下的幼儿基本上都不会做，而且83.3%的幼儿的回 答是加法问题和减法问题的得数相同。这表明这些幼儿在操作活动和数目的计算 之间还没有建立起联系。超过两岁半而不满三岁的幼儿，对需用“1+1”计算的实 际问题多数能正确回答，对需用“2-1”计算的实际问题则有半数能正确回答；
但 是当改换其他数目，如需用“2+2”“5-2”计算的实际问题则只有极少数能正确回答。
这说明这个阶段的大多数幼儿，由于多次操作活动，开始形成牢固的个别联系， 即1个添上1个是2个，2个拿走1个剩1个，但是还没有真正理解加减运算的一般含 义。
三岁多的幼儿开始进入加、减法的实物操作阶段。这时约有半数幼儿 能够进行5以内加、减法的实物操作，极少数幼儿还能进行10以内加、减法的实 物操作。有些幼儿能够正确地进行操作，但是说错了得数。另外还有些幼儿由于 点数实物的能力还很差，操作还有困难。开始有一部分幼儿通过操作初步理解加、 减法的含义，即添上是加，拿走是减。由于多数幼儿能点数实物并说出计数的结 果，因而有些幼儿不仅能口头回答得数，而且同时能用手指表示得数。例如，当提问“1个添上2个是多少？”有些幼儿一边回答“3个”，一边伸出3个手指。这说明 幼儿在做加减计算时在极大程度上需要实物操作的支持。如果让幼儿做抽象的数 的计算，则5以内的加法有37.4％的幼儿做对，5以内的减法只有20％的幼儿做对， 而且做对的题目大多是重现他们生活经验中已经形成的联系，幼儿还不会利用实 物操作的方法（如数手指）去解决他们不熟悉的计算题。至于结合儿童生活经验 的实际问题，除了需用“1+1”“2-l”计算的题目大多数幼儿能口答以外，其他题目 很少能做对。大多数幼儿不理解题意，随便说一个数来回答；
甚至有的幼儿还没 听完整个应用题，就说出一个得数。也有极少数幼儿能答对5以内的加、减法应 用题，但是不明白是怎样算的。例如，提问一个三岁十个月的幼儿，“小明有2 块糖，妈妈又给他2块，小明一共有几块糖？”在说对得数以后，问她是怎样想的， 她说，“我知道几个数，1加1等于2，2加2等于4。”这说明三岁多幼儿还没有明确 的选用运算方法和已知数的意识，有些幼儿虽然初步知道要用加法或减法计算， 但是还不会根据题意选择已知数，于是往往把自己所会的加法算式都说出来，做 为回答，出现对刺激的反应的泛化现象。
（二）半具体半抽象阶段（四—六岁） 这一阶段幼儿计算能力的发展有以下几个特点：
1.幼儿完全掌握了5以内加、减法的实物操作，大多数掌握了10以内 加、减法的实物操作。通过实物操作大多数幼儿初步理解加、减法运算的含义。
2.能够进行一些抽象数目的加、减计算，但一般还离不开具体的实物 操作，出现大量的扳手指的现象。同三岁多的幼儿相比，应该说这是一个很大的 进步。因为三岁多的幼儿还没有完全掌握用实物计算的方法，还没有学会利用手 指进行计算。在测试中，令三岁多幼儿用手指算，大多数都不会。例如，让三岁 七个月的女孩伸指算3个添上2个是多少，她右手伸3个手指，左手伸1个手指；
算 6个添上3个是多少，就不会伸手指了。让三岁十一个月的男孩算5个减去3个是多 少，他先答“6”。再让他伸指算，他先错误地伸4个手指，而且不会去掉3个。但 是四岁多的幼儿，由于大都有了利用实物计算的能力，有些幼儿开始能把用实物 计算的方法应用于抽象数目的计算中去。测试结果表明，5以内的加、减法，很 多幼儿不需用手指就可以算出得数；
5以上10以内的加、减法，四岁多的幼儿基 本会用手指计算的只占33％左右，而五岁多的幼儿基本会用手指计算的达 75％ 左右。但是能用手指计算 20以内的加、减法的仍占少数，约占25％，而且大多 数是五岁半以上的儿童。这些幼儿在用手指算20以内的进位加法时，也明显地反 映出半具体半抽象的特点。例如，让一个五岁八个月的女孩算“8+4”，她先伸出8个手指，然后看着手指接着数4个数，说得“12”；
另一个五岁九个月的女孩，采 取另外一种方法，她伸出4个手指表示要加的4，然后看着手指点数9、10、11、 12，说得“12”。
3.口头解答加、减法应用题能力有较大发展。四、五岁的幼儿绝大多 数能口头解答5以内加、减法应用题，一半左右能口头解答10以内加、减法应用 题。这与幼儿掌握了用实物计算加、减法有密切的联系。在成人教育的影响下， 幼儿通过大量的用实物计算活动，一方面初步理解加、减法的含义，另一方面逐 步学会用实物（特别是手指）计算的方法，从而就为口头解答加、减法应用题创 造了条件。测试结果表明，这个阶段的幼儿口头解答5以内加、减法应用题，正 确率都高于相应范围的抽象数目的计算，有些幼儿做得还比较熟练。但是这不能 说明幼儿对加、减法的含义和应用已有较深的理解，仍说明这阶段幼儿的加、减 法计算的半具体半抽象的特点，并在很大程度上是因为联系儿童日常生活的事物 为儿童提供了具体的直观的表象。从以下的事实可以得到证明：（1）这个阶段 的幼儿在操作活动中往往是用“添上”“去掉”等词语来表示“加”和“减”的概念的， 当出示抽象数目的式题，如说“3加2”“5减3”时，很多幼儿还不懂“加”“减”的意思， 甚至有用手指计算加法的方法来计算减法。（2）有些幼儿不会做5以内加、减法 的某几个式题，但是能够做类似的应用题，这在减法中尤为明显。例如，在五岁 的幼儿中有50％不会做式题“5-3”，其中三分之一的幼儿完全不懂“5-3”的意思， 但是都能做对用“ 5-2”计算的应用题；
其中一半幼儿在做式题“5-3”时不会扳手指， 但是做用“5-2”计算的应用题时却能用扳手指的方法做对了。这说明由于应用题 给幼儿提供了计算活动的情境，使幼儿在头脑中产生实物计算的表象，借助表象 并配合实物计算达到正确地计算出结果。（3）在口头解答应用题时，大多数幼 儿只能说出得数，而说不出加法或减法算式。如五岁多的幼儿能说出加法算式的 只占1/3，能说出减法算式的只有8.3％。说明幼儿虽然能口头解答一些加、减法 应用题，但仍处在直观的表象的阶段，幼儿对于用加、减法算式来表示生活中的 计算问题还没上升到概括性的认识。
另外一个值得注意的问题是，这个阶段的幼儿在抽象数目的计算中， 一般都表现为加法的成绩明显优于减法的成绩。说明减法计算要比加法计算难。
这与幼儿的心理发展有关。按照皮亚杰的观点，从心理学上讲，加法与减法是一 种运算。因为作为一个运算，其特点之一是具有可逆的行动。加法作为一种可逆 的运算，其本身就包括了它的逆运算——减法。但是在幼儿期，还缺乏可逆性的 运算能力。据测试，四五岁幼儿有50％对提出的减法题做了加法。其中大多数是 用手指算的。例如，算“3-1”，幼儿左手伸3个手指，右手伸1个手指，然后合起来数，说“得4”。少数幼儿不伸手指，直接按正序数数。例如，算“5-3”，一个幼 儿按正序数1、2、3、4、5、6，说“得6”。在口头解答减法应用题时，有些幼儿 虽然说对了得数，但是当让他们解释怎样算的时候，往往说的是加法。例如，提 出这样一道应用题，“小华有5块饼干，吃了2块，小华还剩几块饼干？”一个四岁 八个月男孩回答，“因为3块饼干加上2块饼干，吃了2块饼干。”一个四岁七个月 女孩则回答，“因为 3加 1等于 4， 4加 1等于 5。”（同时把5个手指和3个手指 加起来。）这说明幼儿在思考减法应用题时，还不会直接用减法计算，而是用尝 试法给减数添上几个凑成被减数，从而确定剩余的数。在成人看来这样想似乎是 困难的，实际上这是幼儿向可逆行的运算能力发展的雏型，这样还为进一步认识 加减法的运算关系做了具体的准备。这种情况在五、六岁的幼儿中也常看到。
（三）抽象数的加、减计算阶段（六—七岁） 这个阶段儿童开始进入抽象数的加、减计算，这时儿童的加、减计算 能力有较快的发展，主要有以下几个特点：
1.绝大多数儿童掌握了5以内的加、减法，多数能做10以内的加、减 法，少数能做20以内的进位加法和退位减法，甚至能做100以内比较容易的加、 减法。
2.依靠实物计算有所减少。特别是5以内的加、减法，大多数儿童能 够不费思索地答出得数，还需用手指计算的儿童不到20％，这同四、五岁幼儿相 比已显著减少。10以内的加、减法，遇到一些数目较大的计算，仍有约半数的儿 童往往要用手指计算。至于20以内的加、减法，还有少量儿童不会用手指计算。
经过教师的教学，大都能掌握计算的方法。
3.有些儿童能够部分地或完全摆脱实物计算，进入抽象数的加、减计 算。他们的推想方法是多种多样的。在做加法时主要采用以下几种方法：（1） 在第一个加数后面接着数数。如 8加 4，有的儿童能从8起接着数4个数，得到 12。
（2）分组加。如 6加 9，有的儿童想到 6加 4等于 10， 10再加 5等于 15。（3） 利用熟悉的相同数加得的和来推算。如4加3，有的儿童想出4加4等于8，再减少1 个，得7。这表明这些儿童已初步理解整体与部分间的某种增减关系和变化规律。
在做减法时主要采用以下几种方法：（1）倒着数数。如15减8，从15起一个一个 地倒数到7。（2）利用加减关系。如 8减 5，有些儿童能说出，“因为 5加 3等 于 8， 8减5就等于3。”表明这些儿童已经具有可逆行的运算的能力。（3）利用 已熟悉的减法来推算。如11减6，有些儿童说10减6等于4，11减6等于5。这实际上也是利用了整体与部分间的增减关系和变化规律。以上这些推想方法，在一定 程度上具有逻辑运算的性质，只是在儿童的头脑中还是直观的、具体的，还没有 形成抽象概括，但是无疑为以后的进一步抽象概括打下了重要基础。在测试中也 发现有些儿童对所给的题目能够正确答出得数，却说不出所用的推想方法，或者 对10以内加、减法能说清楚，而对20以内加、减法就说不清楚。这表明这个阶段 很多儿童对自己的思维还缺乏自我意识的能力。
这个阶段的儿童在做用加、减计算的应用题时，比前一阶段也有所发 展。但是由于儿童对加、减法的概念主要是从合并、添加、去掉等方面来理解， 因此所能解答的应用题也主要限于这个范围之内的。至于求两数相差多少的应用 题，儿童还很少理解。据研究，五、六岁的幼儿理解合并、添加用加法，去掉用 减法，可达90％以上，而理解求差需用减法的，只占30％左右。
幼儿的乘、除计算能力的发展与加、减计算能力的发展不同，一般地 说是在非教学影响下自发地发展起来的，其发展的起始较晚，发展的速度较慢。
但是即使如此，不少幼儿用非乘、除计算的方法口头解答实际问题的能力也达到 一定的水平。
测试结果表明，能够用非乘、除计算的方法口头解答乘、除法应用题 的幼儿，最早始于四岁半左右。四岁半以下的幼儿都不理解题意，很少作出反应。
四岁半以上至五岁多的幼儿一般都有反应，但是多数回答是错误的，能正确算出 结果的约占25％左右。四五岁幼儿在进行计算时，同做加、减法类似，大多数依 靠实物，主要是看手指。例如，提出一道乘法应用题，“一个小朋友给2个苹果， 3个小朋友一共要给几个苹果？”五岁八个月的女孩边伸手指边说，“一个小朋友 给2个，2个小朋友给4个，再来一个小朋友是6个。”提出一道除法应用题，“老师 有8支铅笔，一个小朋友分给2支，可以分给几个小朋友？”五岁一个月的男孩伸 出8个手指，把每2个并起来，边扳手指边说，“这俩是一个小朋友的，这俩是两 个小朋友的，这俩是3个小朋友的，这俩是4个小朋友的。”言语表达虽不确切， 但从他的操作过程看，思路是很清楚的。六岁多的幼儿做乘、除法应用题能正确 算出结果的可达半数左右，而且需要凭借实物操作的有所减少，开始能够依靠表 象进行思考。例如，在做乘法应用题时，有的幼儿能用连加法计算，如“2个和2 个合起来是4个，再2个，合起来是6个。”有些幼儿采取另外一种加法，他们的思 路是，“一人给1个就要给3个，一人给2个就要加上3个，所以是6个。”实际上是 把人数作为相同加数相加，这反映了实际分物品的一种方法。在做除法应用题时， 有的幼儿能用同数连减的方法推算出来；
还有的幼儿压缩了思维过程，简化了推算步骤，如说“8支铅笔分给3个小朋友（以后）还剩2支”，从而确定一共可以分 给4个小朋友。从幼儿的推想可以看出，他不仅把除法应用题与减法应用题联系 起来，而且注意到它们之间的区别，即做除法应用题时，不是求剩余多少，而是 看分尽时减去了几个2支，就是分给几个小朋友。但是也还有相当数量的幼儿由 于缺乏实际分的经验，不理解题意，把除法计算与减法计算混同起来。例如，有 些幼儿回答说，“给一个小朋友发2支，还剩6支，就是发给6个小朋友。”还有些 幼儿回答说，“能发出6支铅笔。”五岁多的幼儿的回答也有类似的情况。
从上面的调查研究可以看出，学龄前儿童计算能力的发展也具有一定 的顺序性和阶段性。一般地说，稍迟于儿童数概念的发展。三岁以下的幼儿，对 加、减计算基本上处于朦胧状态。三岁多幼儿开始进入加、减法的实物操作阶段， 他们能够用实物操作（包括数手指）做一些极简易的加、减计算，但是还不能用 来解决他们不熟悉的或数目稍大的计算题。四、五岁的幼儿，进入半具体半抽象 的阶段。一方面逐步完善较小数目的加、减计算的实物操作，另一方面逐步扩大 数的计算范围；
但是他们在很大程度上仍依靠实物操作的方法来进行抽象数目的 计算，只对较小数目的加、减法能够摆脱实物或手指来进行计算。六、七岁的幼 儿开始进入抽象数的加、减计算阶段。这一时期幼儿依靠实物操作进行计算有所 减少，一部分幼儿能够进行抽象数目的加、减计算，有些幼儿的抽象思维还达到 较高的水平。四岁半以后，有些幼儿的乘、除计算能力也开始发展，但是仍限于 用非乘、除的计算方法来口头解答乘、除法应用题。幼儿的这些计算能力发展的 特点，不仅为学前的数学教育提供有利的科学依据，也对小学的数学启蒙教育具 有很大的参考价值。
下面就如何根据幼儿的年龄特点，发展幼儿的计算能力，谈一点个人 意见。
（一）幼儿的计算教学的内容和要求要适应儿童的年龄特点，不宜要 求过高。学龄前儿童的教育属于预备教育的性质，计算知识和技能的教育也要在 这一基本前提下根据幼儿的发展特点适当教给一些极初步的、简易的计算知识和 技能，不能要求过多过高，否则不利于幼儿德、智、体、美、劳的全面发展。
从国际上看，很多国家对幼儿的计算教育要求也是比较低的。例如， 在日本，幼儿在六岁上小学以前完全不教加、减计算。在罗马尼亚，幼儿进入小 学前只教加1减1的计算。在俄罗斯，幼儿在学前只教一些简易的10以内加、减法， 加法只限较大数加较小数，减法只限减数小于差的，计算方法也只限于逐次加1 或逐次减1。美国学前也只教10以内简单的加、减法。从前面测试的结果看，我国六岁以下的幼儿，由于教学和家庭的影响，虽然能做一些加、减计算，但是大 都依靠数手指，有些幼儿还不会利用手指进行计算；
六岁以上的幼儿做加、减法， 也还有少一半要依靠数手指。从普及的角度考虑，为了不加重幼儿的学习负担， 使幼儿的身心得到健康的发展，也避免造成幼儿园与小学的过多重复，可以把幼 儿园的计算内容限定在10以内加、减法，而且不宜要求达到像小学一年级那样熟 练，只要通过实物操作初步理解加、减法的含义，能正确算出较容易的10以内加、 减法的得数就可以了。
（二）计算教学的顺序要适合幼儿的心理发展顺序。教幼儿计算按照 什么顺序进行，过去往往带有盲目性。例如，有些家长一开始就教幼儿抽象数目 的加、减计算，有些幼儿园或学前班则基本按照教小 （三）教学方法也要适应幼儿的年龄特点。幼儿的计算教学是极初步 的启蒙性质的数学教学，同时培养幼儿对数的计算的兴趣，为以后上小学做些初 步的准备。要达到这一目的，选用适当的教学方法就非常重要。首先要注意通过 各种游戏和有趣的活动来进行计算的教学，使幼儿在游戏、玩耍当中学到极初步 的计算知识，并且自始至终注意培养幼儿对计算的兴趣。其次教学时选用的方法 要符合幼儿的年龄特点。例如，教四岁的幼儿计算只要进行一些实物操作就可以 了，活动的时间不宜太长。就是到了大班，教学一些抽象数目的计算也不能完全 离开实物操作，注意在实物操作的基础上进行适当的抽象、概括。因为整个幼儿 阶段思维的特点还是以形象思维为主。此外，在游戏、操作等活动中都要注意启 发幼儿的思考，调动幼儿思维的积极性、主动性，使幼儿在学到初步的计算知识 的同时，思维能力也得到初步的发展。
