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“以错纠错”的案例分析
文／罗增儒
在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．
一、出示案例
我们先引述3处典型做法．
1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近（2001年5月）又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来（见原文例4）：
例1 若 （3ａn＋4ｂn）＝8， （6ａn－ｂn）＝1，求 （3ａn＋ｂn）．
学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：
由
（3ａn＋4ｂn）＝8，
（6ａn－ｂn）＝1．
得
3 ａn＋4 ｂn＝8， ①
6 ａn- ｂn＝1． ②
①×2－②，可得
ｂn＝15／9，
并求得 ａn＝4／9．
∴ （3ａn＋ｂn）＝3 ａn＋ ｂn＝12／9＋15／9＝3．
这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若 ａn＝Ａ， ｂn＝Ｂ，则才有 （ａn＋ｂn）＝ ａn＋ ｂn＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由 （3ａn＋ｂn）＝8，
（6ａn－ｂn）＝1，
不一定保证 ａn与 ｂn存在．比如
ａn＝4／3＋（1／3）ｎ2，ｂn＝1－（1／4）ｎ2，
则有 （3ａn＋4ｂn）＝8，
但是ａn与ｂn均不存在极限．
正解： （3ａn＋ｂn）＝（1／3） （3ａn＋4ｂn）＋（1／3） （6ａn－ｂn）
＝8／3＋1／3＝3．
某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．
要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．（引文完）
2.数学通报1999年第11期（Ｐ．43）文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子（本文记为例2）：
例2 已知 （2ａn＋3ｂn）＝5， （ａn－ｂn）＝2，求 （ａn＋ｂn）．
当时有位学生提出这样一种解法：
解：设 ａn＝Ａ， ｂn＝Ｂ，则由题设可知
（2ａn＋3ｂn）＝2 ａn＋3 ｂn＝2Ａ＋3Ｂ＝5， ①
（аn－ｂn）＝ ａn－ ｂn＝Ａ－Ｂ＝2． ②
联立①，②解得
Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5．
∴ （ａn＋ｂn）＝ ａn＋ ｂn＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．
对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题： ａn和 ｂn一定存在吗?
随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断 ａn和 ｂn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．
另解：设ａn＋ｂn＝ｘ（2ａn＋3ｂn）＋ｙ（ａn－ｂn）（其中ｘ，ｙ为待定的系数），则
ａn＋ｂn＝（2ｘ＋ｙ）ａn＋（3ｘ－ｙ）ｂn，
从而有
2ｘ＋ｙ＝1，
3ｘ－ｙ＝1．
解之得 ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．
∴ ａn＋ｂn＝（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn），
∴ （ａn＋ｂn）＝ ［（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）］＝（2／5） （2ａn＋3ｂn）＋（1／5） （ａn－ｂn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．
这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．（引文完）
3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（高中）》，其第6章题30如下（见文［7］Ｐ．342，本文记为例3）：
例3 已知 （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，求 （2ａn＋ｂn）之值．
误解：∵ （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，
∴
2 ａn＋3 ｂn＝7， ①
3 ａn－2 ｂn＝4． ②
①×2＋②×3，得
13 ａn＝26，
∴ ａn＝2．
代入式①，得
ｂn＝1．
∴ （2ａn＋ｂn）＝2 ａn＋ ｂn＝2×2＋1＝5．
正确解法：设ｍ（2ａn＋3ｂn）＋ｐ（3ａn－2ｂn）＝ｋ（2ａn＋ｂn）．
其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａn，ｂn的系数得
2ｍ＋3ｐ＝2ｋ， ①
3ｍ－2ｐ＝ｋ． ②
由式①、②消去ｋ，得
2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ，
∴ 4ｍ＝7ｐ．
当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．
∴ 2ａn＋ｂn＝（7／13）（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）（3ａn－2ｂn）．
∴ （2ａn＋ｂn）＝（7／13） （2ａn＋3ｂn）＋（4／13） （3ａn－2ｂn）＝7／13×7＋4／13×4＝5．
错因分析与解题指导：已知 （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，并不意味着 ａn、 ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则： （ａn±ｂn）＝ ａn± ｂn，默认 ａn与 ｂn存在，这是错误的．要求 （2ａn＋ｂn），就必须将2ａn＋ｂn去用（2ａn＋3ｂn）与（3ａn－2ｂn）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）
以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．
虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断 ａn和 ｂn是否存在吗?”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．
二、案例分析
我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．
1.学生解法的认识
学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．
缺点是默认了 ａn与 ｂn的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．
（1）知识性错误
表现在：没有验证ａn与ｂn极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了ａn与ｂn极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则．
（2）逻辑性错误
表现为逻辑上的“不能推出”：跳过ａn与ｂn极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．
（3）心理性错误
表现为“潜在假设”，默认ａn与ｂn极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明．
由于在已知条件下，ａn与ｂn的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤．
这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控．
2.教师认为“不一定保证 ａn与 ｂn存在”是不对的
事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求 （3ａn＋ｂn），而且可以求 （αａn＋βｂn），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不过是一种更简单的特殊情况．我们来给出一个更一般的结论．
命题1 若 （α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1， （α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2，
则当ａ1β2－α2β1≠0时，两个极限 ａn与 ｂn均存在，且
ａn＝ｃ1β2－ｃ2β1／α1β2－α2β1， ｂn＝α1ｃ2－α2ｃ1／α1β2－α2β1．
证明：设
ａn＝ｘ（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）
＝（α1ｘ＋α2ｙ）ａn＋（β1ｘ＋β2ｙ）ｂn，
令
α1ｘ＋α2ｙ＝1，
β1ｘ＋β2ｙ＝0．
解得 ｘ＝β2／（α1β2－α2β1），ｙ＝－β1／（α1β2－α2β1）．
从而
［x（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）］
＝ｘ （α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ （α2ａn＋β2ｂn）
＝ｘｃ1＋ｙｃ2＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）．
即 ａn＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）．
同理可确定ｂn极限的存在性，并计算出
ｂn＝（α1ｃ2－α2ｃ1）／（α1β2－α2β1）．
（1）取α1＝3，β1＝4，ｃ1＝8，α2＝6，β2＝－1，ｃ2＝1，可得 ａn＝4／9， ｂn＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出
ａn＝ ［（1／27）（3ａn＋4ｂn）＋（4／27）（6ａn－ｂn）］
＝（1／27） （3ａn＋4ｂn）＋（4／27） （6ａn－ｂn）＝8／27＋4／27＝4／9．
ｂn＝ ［（2／9）（3ａn＋4ｂn）－（1／9）（6ａn－ｂn）］
＝（2／9） （3ａn＋4ｂn）－（1／9） （6ａn－ｂn）＝16／9－1／9＝5／3．
（2）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝5，α2＝1，β2＝－1，ｃ2＝2，这便得例2，有
ａn＝（1／5） （2ａn＋3ｂn）＋（3／5） （ａn－ｂn）
＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，
ｂn＝（1／5） （2ａn＋3ｂn）－（2／5） （ａn－ｂn）
＝1／5×5－2／5×2＝1／5．
（3）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝7，α2＝3，β2＝－2，ｃ2＝4，这便得例3，确实有 ａn＝2， ｂn＝1．
应该说，求 ａn、 ｂn与求 （αａn＋βｂn）道理是一样的，为什么会有这么多的教师长期坚持“ ａn、 ｂn不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说，失去自信比缺少知识更为可怕．
3.反例“ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4”的错误根源
上面已经严格证明了 ａn与 ｂn的存在性（以α1β2－α2β1≠0为前提），因而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误的原因，弄清错误的性质．
（1）检验可以发现错误
把ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4代入已知条件，有
（3ａn＋4ｂn）＝ 8＝8．
但 （6ａn－ｂn）＝ （7＋9／4ｎ2）
不存在，更不等于1．
所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据不充分的前提（来验证第2个条件）得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误．
（2）误举反例的原因分析
①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若 ａn、 ｂn存在，则 （ａn＋ｂn）＝ ａn＋ ｂn，反之不真（思维定势）”．这对只有一个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移．
②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：
命题2 若 （α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1， （α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2．
则有
（ｉ）当α1β2－α2β1≠0时， ａn、 ｂn均存在；
（ｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1＝0时，则ａn，ｂn的极限不一定存在．（文［2］的反例适用这一情况）
（ｉｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1≠0，则ａn，ｂn的极限均不存在．
这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．
对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一个永无止境的课题．
4.试作一个探究性的教学设计
本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一个教学设计，分为7步．
（1）提出问题，暴露学生的真实思想．
其过程是给出例1（或例2、例3等，还可以根据命题2编拟3种类型的例题），让学生得出不完整的解法．
（2）反思，引发认知冲突．
教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要 ａn、 ｂn的存在性做前提．前提存在吗?有两种可能：或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定．
（3）分两大组自主探索，自我反省．
按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程．
（4）得出 ａn、 ｂn的求法．
这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：
①求 ａn＝…＝4／9；
②求 ｂn＝…＝15／9；
③求 （3ａn＋ｂn）＝…＝3．
（5）进行解题分析，得出改进解法．
引导学生认识到：
①求 ａn、 ｂn所使用的方法也可以直接用到求 （3ａn＋ｂn）上来．
②先分别求 ａn、 ｂn，再合并得结论 （3ａn＋ｂn）有思维回路：
（3ａn＋4ｂn）（合）
ａn
（分）
（6ａn－ｂn）（合）
ｂn
（3ａn＋ｂn）．（合）
删除中间步骤，可得
（3ａn＋ｂn）＝ ［（1／3）（3ａn＋4ｂn）＋（1／3）（6ａn－ｂn）］
＝（1／3） （3ａn＋4ｂn）＋（1／3） （6ａn－ｂn）＝8／3＋1／3＝3．
（6）探索一般性．
①考虑例1的结论一般化改为，求 （αａn＋βｂn）；
②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1（α1β2－α2β1≠0）；
③再加一个层次，允许α1β2－α2β1＝0，让学生再发现命题2．
（7）运用建构主义和元认知的观点（不出现名词）进行总结．
参考文献
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4 赵春祥．数列与数列极限中应注意的几个问题．教学月刊·中学理科版，1999，6
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