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文化符号生成数学观研究
文化符号生成数学观研究 在各种人类文化活动和文化符号生成过程中，时常蕴涵着各种数学原理。从人类文明史进程来看，各个时代的总体文化特征与同时代科技活动存在某种必 然关联，这符合艺术发展的规律。文化符号生成过程中蕴涵着新思想、新技术以 及对时代先进生产力的吸收与利用等特征,常见于人类的文化与艺术之史。这符 合文明发展的规律。近年来,有关中西方艺术与科技相融合的历史，以及传统文 化现代价值的各类研究越来越受到人们的关注，值得人们系统的、多元化的思考。
一、数学的生命力植根于社会生活 如果与人类的文明史相比较,显然，数学形成和发展的历程就略显简短。
事实上,数学一直与人类的文化与科技生产力有必然的关联,数学是人类文化的组 成部分。数学家柯朗（RichardCourant）曾这样定义数学：“数学，作为人类思维 的表达形式……以及对完美境界的追求。”[1]从大量的文化考古及研究中发现, 数学具有博大精深的内涵。在人类古文明中，大量的数学、天文、地理等知识被 运用于金字塔和各种神殿等建造中。其实，在古代中国，古人很早就懂得应用数 学分析和研究客观世界。在天文学领域中，中国人发明了“历算”，其理论基础就 是数学。象征着古埃及文明的著名建筑金字塔共有100余座，大量的数学、天文、 地理、生理等知识被运用于金字塔及神殿的建造（参见图1）。古代埃及人在劳 动与生活实践过程中应用了大量的数学知识。从某种意义上说，几何学的形成是 “尼罗河水泛滥所带来的恩赐”。古埃及人制定了“历法”，其理论基础就是数学。
与此同时，众多的实际需要和兴趣激发了数学活动的灵感,又进一步推动数学本 身的发展。在玛雅文明中，存在着大量的历史遗迹,如金字塔、神殿、天文台以 及石碑等。这些被展示的文化符号，在体现其某种文化特征、象征意义等内容的 同时，蕴涵着某种数学观或数学“法则”。众所周知，人类历史上首先发明“零”概 念的就是玛雅人，因此，古玛雅人在数学等方面的成就令人惊讶，对往后的计算 科学和计算机的发明具有促进和推动意义。由于玛雅文明被人们所认识的时间不 长，大约是在上世纪四十年代，因此，常被称为失落的玛雅文明（图2）。人们 都熟知埃及有金字塔，却很少有人知道古代玛雅金字塔的数量比埃及还多。而且， 玛雅金字塔与埃及金字塔的结构、功能和意义完全不同。前者为实心，塔顶供教 士们居住或观察天象之用，塔前广场是祭典场所；
而后者是空心，内部为帝王陵 寝。据考证，玛雅文明的金字塔的每一块石块都与历法、数学、天文有关。由此 可见，大量的数学、天文、地理等知识被运用于玛雅金字塔的建造之中（参见图 3）。古希腊时期，柏拉图等人试图将数学、几何学与人的审美经验相互联系在一起。毕达哥拉斯则认为“万物皆由数来安排”。难以置信，这些数学的法则和比 例，在古希腊会产生如此广泛的影响。在文艺复兴时期，这种所谓“数学法则” 仍旧被普遍应用于各类艺术创造过程中，对数学家、画家、建筑师乃至音乐家仍 具有普遍的吸引力。艺术上的理性主义观念进一步表现为对各种写实技法的研究 与运用。在绘画中,利用人体解剖学、光影法、透视学等科学原理及写实技法使 作品更能表现客观的真实感。与中世纪绘画相比较,文艺复兴时期的作品在二维 平面中引入了第三维的概念，即在绘画过程中处理了空间、距离、体积、质量和 视觉印象等。而具有三维空间感的画面效果只有通过射影几何学和透视学等原理 及写实技法才能得到，其原理的核心是数学（参见图4）。综观人类文明的发展 史，文化符号在生成过程中时常能找到大量“数学法则”被普遍应用于各类艺术实 践活动，丰富的例证常见于历代文化与艺术之中。对称，在数学上，指的是研究 对象在某种变换或操作下始终保持不变的性质，因而，在科学上具有根本性意义。
在人类的文化中，对称与平衡、和谐、秩序、形式美感等概念联系在一起。尤其 在中国文化中，对称蕴涵着不偏不倚的中庸之道，事实上，中和之道几千年来内 化成了中华民族特有的意识与内在性格，一直延续至今。对称具有数学与文化双 重的含义，远在人类文明之前，自然界中的植物与花卉大都具有对称特征，以人 类为代表的脊椎动物都具有左右对称特征。人类在最早期的改造自然过程中，已 从自然界中发现和运用这一数学灵感，大量的历史与文化遗迹可以证明这一观点。
同时，事实证明，数学的生命力根植于社会生活（参见图5）。
二、数学对称理论 如前所说，对称在科学上具有根本性意义。在对象上的任何一种对称变换 或对称操作,只影响对象几何学性质照片，洞穴中的地砖、墙饰等都能发现人类 对平衡、形状、空间、形式等概念的思考上变化，反演操作，使一切重新回到原 点。H.J.Woods,在19世纪30年代发表的四篇研究论文“图案设计的几何基础” （TheGeometricalBasisofPatternDesign）[2]，以及OwenJones的著作《装饰原理》 （TheGrammarofOrnament），被公认是对称与图案设计领域十分有影响的研究。
E.H.Gombrich有著作《秩序感》 （“TheSenseofOrder”-Astudyofthepsychologyofdecorativeart）。他的相关研究，被 认为拓展了对称研究的视野，他从符号、文化与数学的综合视角研究艺术，具有 重要的影响力。平面对称，是以四种对称变换或对称操作在平面中的应用为特征。
即，平移（Translation）、旋转（Rotation）、反射（Reflection），滑移反射 （Glide-reflection）。数学家 Coxeter[3],Jeger[4],Guggenheimer[5],Yale[6],Schattschneider[7]的研究在数学、晶体学领域具有重要的影响力。荷兰艺术家M.C.埃舍尔（M.C.Escher）是将“数学 法则”普遍应用于图形创意的典范，他的图形创意，不仅创造了生动的艺术形象， 而且融合了数学对称思维的灵感（参见图6）。1.对称原理与术语解释对称，数 学上有严格的定义，如前所说，四种对称变换或对称操作，可以单独或组合作用 于对象，呈现相应不同的对称特征，并根据相应的对称操作在对象中的组合情形 进行科学系统的分类。在平面中，平移是构成二维图案的最基本特征，但是，平 移是在两个不同的互不平行的方向上进行的。如果平移只朝某单一方向，只能构 成带状图案。详细的对称变换示意（镜像反射轴由符号m标示，滑移反射轴由符 号g标示）参见图7。2.对称与相关符号的进一步的解析对称的相关同义术语有全 等变换（congruencetransformation）、等距同构（isometries）等。在二维平面中， 平移是构成二维图案的最基本特征，但是，平移是在两个不同的互不平行的方向 上进行的。如上所述，在平面中，四种对称变换可以单独或组合应用于图形结构 之中，并构成相应的对称和分类特征。图8示意了一个由等边三角形所构成的平 面，如图所示，可以借助连续反射等边三角形构成平面、围绕等边三角形的顶点 O连续旋转60构成平面。在平面中，平移是构成二维图案的最基本特征，如果在 最基本单元中任选一个点，通过在两个分别不同的互不平行的方向上进行平移， 就能形成等距规律性的重复点阵（参见图9）。在平面点阵中，根据连接点阵方 式的不同，允许形成各种不同的基本平移单位（形成一个点阵的对应点的框架， 如图10所示）。在平面中，平移是构成图案的最基本特征，共有5类不同的点阵， 在对称原理允许范围内构成的基本结构框架（基本平移单位），分别是：平行四 边形、菱形、长方形、正方形和六边形。这种局限被称为“结晶学限制”。相关17 种不同对称特征的图案结构（基本平移单位，如图11所示）。Martin[8]和 Schwarzenberger[9]提供了相关的理论依据，不同的对称特征由相关通用的国际晶 体学通用符号标示（括号内为简化的符号标示）。详解参阅本文所列参考书目。
三、对称在传统建筑文化符号中的具体应用 在人类的文化、艺术、建筑等各种活动中时常发现与数学的渊源，如前所 说，在人类文化中，对称时常与平衡、和谐、秩序、形式美感等概念联系在一起。
对称蕴涵着不偏不倚的中庸之道，事实上，几千年来内化成了中华民族特有的意 识与内在性格。因此，传统建筑，作为被展示的文化符号，其建筑的风格、形式 结构、美学追求等因素受到影响是必然的。1.对称在传统建筑文化符号中的表现 在中西方传统建筑的建造中，人们经常发现，这些作为被展示的文化符号，在体 现某种文化特征、象征意义等内容的同时，其背后时常蕴涵着某种数学元素或数 学“法则”。从本质上看，文化和艺术之间的差异，追根寻源，主要是由于各自文化的哲学思想不同所导致的。大量的历史与文化遗迹证明了这一观点。数学，作 为人类思维的表达形式，以及对完美境界的追求，对人类的哲学思想的形成具有 影响作用，同时也构成了数学科学的生命力。中国传统建筑布局、城市规划等都 十分讲究对称，因为对称所呈现出的特性以及视觉上的中庸、秩序、和谐、庄严 等特征与文化意义上的对称含义是相一致的。孔子曰：“不偏为中，不变为庸。” 这种中庸思想对中国人行为观念、文化活动、建筑布局、城市规划，甚至人伦秩 序等必然会产生影响。就我们首都北京的城市布局而言，不论城市如何拓展与变 化，始终沿着城市中轴线进行规划和设计。城市规划布局中的对称观念,自中国 古代一直延续至今（参见图右边是细部装饰的平面示意图（资料来 源:TheStoryofArchitecture,byPatrickNuttgens）。图14是starlanternBurgoscathedral 教堂的天顶结构和装饰，图案的结构基于中心和轴对称构筑（PatrickNuttgens）。
图15（上图）是婆罗浮屠（Borobudur）佛塔，应该算是世界上最大的佛教遗址， 瓜哇岛的佛塔群，基底尺寸：边长114米、高46米。图15（下图）是塔平面示意 图，塔结构是基于中心及轴反射对称原理而构筑（资料来源于《世界文明奇迹》， 王伟芳、余开亮编）。图16是伊斯兰教和阿拉伯风格的清真寺装饰以及对称原理 的平面装饰示意图（资料来源:MoorishArchitecture,byMarianneBarrucand）。在跨 文化的艺术研究中，人们不难发现，由于人类生活在不同的区域和民族文化族群 之中的缘故，往往会存在文化和哲学观上的差异，进而导致人的认知、审美倾向 偏好等诸方面的不同。对称虽然是人类在生活与实践过程中共同发现的数学灵感， 然而，在现实生活、各类文化活动中的应用和艺术效应仍会存在十分明显的区别。
这种差异主要体现在文化符号的形式特征、审美特征等各层面。例如，古代罗马 人和生活在地中海沿岸的居民，他们与其他民族人群之间，有时尽管会应用相同 的“数学法则”创造各自的文化符号，但是，符号的形式、审美特征方面肯定会有 很明显的区别。古罗马人的装饰风格与其他民族的装饰风格就存在十分明显的差 异（参见图17，资料来源于Symmetry,byHermannWeyl）。古罗马时期的装饰风 格同样也十分讲究对称，大量的建筑墙面、地面、墙壁、柱子以及天顶上的彩绘 装饰等，都体现着古罗马时期的艺术风格。其图案装饰风格很特别，通常以人类、 动植物以及自然景象的镶嵌图案（马赛克）作为装饰。这种追求和谐、秩序、对 称的审美观，也同样早已内化成了古罗马人的民族意识与内在性格，是古罗马文 化与美学的精髓。早期的摩尔人（阿拉伯人）的装饰风格和审美观十分独特。大 量能被展示的文化符号在生成过程中时常能找到“数学对称法则”被普遍应用于 那些艺术实践活动，丰富的例证常见于历代文化与艺术之中（参见图18，左图是 基于中心及旋转对称的图案装饰，右图是对称原理的示意图。资料来源于 Symmetry,byHermannWeyl）。图案装饰风格给人留下深刻的印象。图19是西班牙摩尔人（moor）诸王的豪华宫殿（AlhambraPalace）格兰纳达薄呢，穆斯林和 伊斯兰教的装饰风格和对称图案给人们留下了深刻印象（资料来源于 Symmetry,byHermannWeyl）。图20是中国传统的窗花装饰设计，图形的结构蕴 藏着数学对称。图21是分别基于classp4和classp6对称原理而构成的图案装饰（资 料来源于Symmetry,byHermannWeyl）。2.对称在传统建筑文化符号及相关装饰品 中的表现对称在传统建筑文化符号及相关装饰品中的范例十分丰富，这些图案装 饰大都出现在手工艺品、织物、编织工艺品、器具、陶艺等上（如图21所示，资 料来源于DecorativePatternsoftheAncientWorld,byFlindersPetrie）。这些来自不同 区域、民族和文化的原始手工艺品，具有不同的装饰风格，但都是基于对称原理 而构成的。在艺术考古中，人们经常发现，在不同的区域和民族文化遗产中，存 在着十分类似的装饰及图案结构，这并不是意外和巧合，这是人类的创造和文化 活动所基于相同的数学灵感启示的缘故。但是，由于民族、文化、区域的差异， 同样会产生许多丰富有趣而不同的表现。
四、结语 本文经过对中西方传统的被展示的建筑文化符号的研究，清晰地意识到， 由于人类在文化和哲学思想上存在着差异性，因此,导致人的认知、审美、民族 意识以及人的内在性格等完全不同。同时，这种差异性也必然会影响到人类的各 种文化活动，甚至即便在同类文化活动中，遵循相同的“数学法则”开展艺术实践 活动，实践的结果之间（作品风格之间）同样会存在十分明显的差异。研究文化 符号中所蕴含的数学观，意义十分明确，希望人们能清晰地意识到，人类文明发 展进程中数学与文化的关系，以及数学在人类文明发展中的积极作用。事实证明， 对称具有数学与文化的双重的含义，数学是文化的一部分。
作者:林迅 单位:上海交通大学媒体与设计学院
