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剖析三角形的等积分割线与三角函数式的求值论文
剖析三角形的等积分割线与三角函数式的求值论文 如何将一个三角形面积分割成两个相等的部分，是我们已熟知的问题，只要沿 三角形的中线，即可把三角形分割成面积相等的两个部分，许多同学认为，这样 的分割线只有三条，但是，这样的分割线到底有多少条呢？ 问题1：请用一条直线，把△ABC分割为面积相等的两部分。解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把△ABC分成面积 相等的两个部分。
大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过△ABC的三条中线的直线， 能把△ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于 △ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。
问题2：点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直 线，把△ABC分成面积相等的两部分。
解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F， 则直线EF就是所求的分割线。
证明：设CD、EF相交于点P ∵点D是AB的中点 ∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD ∴S四边形CAEP＋S△PED=S四边形DPFB＋S△PCF 又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高） 即：S△PED=S△PCF ∴S四边形CAEP=S四边形DPFB ∴S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋S△PED 即S四边形AEFC=S△EBF由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一 条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。
那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？ 大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三 条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重 心。
问题3：已知：如图3，在△ABC中，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC 交AB于点E，交AC于点F，求证：S△AEF=S△ABC. 证明：延长AG，交BC于点D ∵点G是△ABC的重心 ∴AG:AD=2:3 又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC 由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为 4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过 点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。
综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作 出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。
1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式， 特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化 为特殊角的三角函数。
例1 求值：sec50°+tan10° 解析：sec50°+tan10° =1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80° =2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10° =cos40°+cos20°cos10° =2cos30°cos10°cos10°=3 总结评述：本题的解题思路是：变角→切割化弦→化异角为同角→转化为 特殊角→约去非特殊角的三角函数。
解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。
例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值 策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要 从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。
解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26 ∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α) ∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26 3.给值求角 给出三角函数值求角的关键有二：
（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。
（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上 （注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。
例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。
解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值， 所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。
∵cosα=－750且α∈（0，π） ∴sinα=150,tanα=－17 又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα =－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1 α∈（0，π），tanα=－170,α∈(π2,π) β∈（0，π），tanβ=－130,β∈(π2,π) ∴2β∈（π,2π），tan2β=－340 ∴3π22β2π ∴α+2β∈（2π，3π）. 而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4 ∴α+2β=11π4 总结评述：给值求角问题中，求出三角函数值后，要注意限制角的范围。
