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摘要：利率一直是金融领域的一个核心的概念，并被广泛应用于固定收益证券的定价和分析当中，利率期限结构可以为各种债券和金融衍生品提供利率水平的定价基准，成为金融学领域的一个研究重点。本文是从利率期限结构的相关理论出发，以MATLAB工具对我国国债收益率曲线进行实证分析，选取2009年12月31日的国债交易数据为样本，先后采用比较成熟的三次多项式样条函数法、指数样条函数、NS模型对其进行分析，得到即期利率。通过理论基础上的实证分析和方差的比较，NS模型的方差最小，所得到的收益率曲线更能较好的反映国债价格。
关键词： 国债 利率期限结构 多项式样条 指数样条 NS模型
利率期限结构即是指在某一确定时点上，无风险利率到期期限与到期收益率之间的一种函数关系，即不同期限的利率水平之间的关系，也可以简称“收益率曲线”，而且对利率期限结构的研究在发展和完善中国资本市场方面具有重要的理论和现实意义。现阶段国内外的研究成果，主要是对构造利率期限结构的方法上分为两大类：第一种是经济理论模型法，第二种是数量方法。第一种方法是通过经济学上的一些假设对利率的随机行为进行建模，此种方法得到的利率期限结构只是有效市场的无套利条件下的理论探讨，很难拟合实际观察到的债券价格、收益率数据；第二种方法是在无论经济状况如何的情况下都能回归到利率期限结构的本质进行估计，即利用在市场上可以观察到的债券价格数据去拟合利率期限结构。
一、多项式样条函数
本文采用已经成熟的多项式样条模型研究我国国债的即期利率，即用三次多项式样条函数对债券贴现因子进行拟合，得出我国的即期利率曲线。
首先用曲线拟合方法构造国债利率期限结构的是对债券价格进行建模。一个基本的国债定价模型是：
其中， 代表债券的全价（包括净价和应计利息）， 代表债券在 时刻的现金流， 代表债券剩余的付息次数， 代表债券在 时间段的贴现率。
其次，选择包含一些参数的合理函数来表示贴现函数B(t)，这样国债的理论价格便通过公式(1)表述为上述未知参数的函数，并且设定目标函数为：
其中， 为债券的市场交易价格， 为债券用公式(1)计算出来的理论价格，通过使债券市场价格与理论价格的差异最小化，实现目标函数的最优化，利用Matlab中spl命令估计出贴现函数 的各个参数，从而求出贴现函数B(t)，进而求得即期利率 为：
由数学分析中的Weierstrass逼近定理和McCulloch所作出的理论研究可以采用简单的二次多项式作为基函数，并为了避免在估计远期收益率曲线时出现振荡，本文也将基函数的阶数定为三阶，防止出现 的二阶导数是离散的导致的曲线不光滑的情况，但当多项式的阶数大于三阶时，模型显得复杂，验证导数的连续性比较困难，所以样条数量的取值和分界点的选取也不容小视。综合样本数据特征，为了便于方程的计算，设定所有债券的假定剩余到期时间为19 至20年，19 年以下的债券在最后一次付息还本以后的付息日付息额均为零，选择5年和8年为分界点，这样既不与实际相违背，也方便模型的简便，因此本文选择的样条函数的形式为：
同时，函数 必须满足如下函数平滑性和可导性约束条件：
将上面的7个条件代入（1）式中，我们可以将相互独立的参数从12个缩减到5个，整理后可得下式：
将国债数据代入（4）和（1），就可以得到一个含有5个参数的多元线性回归模型。
二、指数样条模型
利率期限结构可以有很多种等价的方式表示，指数样条法就是假设利率期限结构用贴现因子 表示，其主要原理是将整个期限划分为若干子区间，对每个子区间分别进行利率期限结构的估计，同时必须对子区间的划分设置一些限定条件，从而确保得到连续平滑的收益率曲线。具体步骤是先将贴现因子设计成分段指数函数的形式，再根据样条函数定义，要求在分界点保持一定的光滑性，一般三阶样条也就是要求有连续的二阶导数，然后通过化简减少参数。假设零息票债券利率期限结构为如下的分段指数函数。
三、即期利率函数法
大多数即期利率函数都是从利率期限结构动态模型推导而来，最常见的是Nelson-Siegel（NS）模型和Nelson-Siegel -Svensson(NSS)模型。
指数形式的瞬时远期利率：
对应的即期利率函数：
其中 是水平因子，其载荷为1，1是不衰减的常数，对所有期限利率影响一致，也是长期因子，即期限无穷大时利率收敛于 ；其中 是短期因子，其载荷是一个开始于1，并很快衰减至0的函数，对短期利率影响大，也是斜率因子，当期限趋于0时， ，因此，也可以看作是长短期利率之差； 通常被称为“中期因子”或“曲度因子”，其载荷开始于0先增加后衰减为0，对中期利率影响大，主要影响收益率曲线的弯曲度； 决定了 和 的衰减速度。如果 较小， 收敛的速率比较快，能较好地拟合较长到期期限的曲线。 较大时，收敛的速度较慢，能比较好地拟合较短到期期限的收益率曲线。
四、实证分析
本文选取2009年12月31日上海证券交易所的54个国债交易价格为研究对象对我国的利率期限结构进行实证分析。 首先，用matlab软件可以分别估计出三次多项式样条函数和指数样条函数和NS模型的参数和误差。
利用以上数据和matlab工具可以作出即期利率期限结构的曲线（如图1所示）。由图可以看出，拟合出来的国债收益率曲线比较平滑，可以认为采用三次多项式样条函数估计我国国债利率期限结构曲线暂时是有效的，但是在用三次多项式样条函数构造利率期限结构时，需要把握好拟合的尺度，视用途并分情况而定。
五、小结
最后将各种估计方法得到利率期限结构的偏差进行比较，可以看出指数样条模型中的参数u经济意义明确，但多项式样条模型中的参数经济意义不明确，在实证验证过程中，NS模型方法优于指数样条方法更优于多项式样条方法，因为指数样条方法平均偏差是0.006727778，即国债定价误差是0.673%；多项式样条法的平均偏差是0.007035，即国债定价误差是0.704%；NS模型的平均偏差时0.005257，即国债定价偏差时0.526%。这一点与马特里尼和Martellini的实证结论相一致，指数样条模型优于多项式样条模型。
由前两种方法得到贴现因子后，可以根据转换公式计算出即期利率，第三种方法直接算出即期利率，从三个图可以看出，第一种和第三种方法推出的即期利率曲线几乎完全一样，并且都呈现出长期收益率远远高于短期收益率的正向趋势，可以看出我国中长期国债的到期收益率分布在2%—4%之间，这种结构性失衡会使长期债券存在较大的利率风险。但是指数样条法拟合的即期利率曲线在第八年左右出现急剧下降，后又突然上升，而且在远端是陡峭地上升，如果将到期期限延长，即期利率在远端会是非常高的，此种上升趋势会导致远期利率在远端以更快的速度上升，而这并不符合利率期限结构理论，远期利率在远端不应该剧烈波动，而是比较平缓。因此NS模型在拟合远端数据时显得更为合理一些，这综合说明了NS模型更适合作为中国利率期限结构的拟合方法。
参考文献
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