均值不等式什么时候可以用均值不等式的巧用

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均值不等式的巧用

均值不等式的巧用均值不等式的巧用陵水中学李莎在教学实践中,我们发现均值不等式是求解函数的最值问题和证明不等式问题的重要工具。现举例介绍如下：
运用均值不等式求函数最值问题时，应特别注意"一正、二定、三相等"。

例1 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（）分析由题意知，注意到若取最大值，a、b必同号，不妨设a、b均为正数，则将问题转化为 a0，b0，且，求的最大值。

由，知而，当且仅当a=b，且即，时，取得最大值。

例2 求二元函数（x，y0）的最大值。

解：∵4 = ， ∴ 所以函数的最大值为5，当且仅当时取得。

例3 ΔABC的三边a、b、c依次成等比数列，求角B的取值范围。

分析在中，注意到分式的积，我们把化为" "即可求出最值。

解：∵ ∴ 又∵B ，∴例4 用长为的铁丝围成直角三角形的三边，求直角三角形的最大面积。

分析设直角边长分别为x，y（x，y0），面积为S，则 ① 又S= ，注意到求积的最值，我们把①式中的和分别化为" "和" "即可巧妙求出最值。

解：∵ ∴ 所以S的最大值为，当且仅当即等腰直角三角形时取得。

运用均值不等式证明不等式时，常常需要根据不等式的结构特征，配以适当的技巧，方能如愿。

例5 设a、b、c各为不相等的正数，求证：
分析所证不等式两边均为和的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠加的方法。

证明：∵ ∴2（）2（） ∴ 例6 设a、b、c ，求证：
（a+b)(b+c)(c+a) 8abc 分析所证不等式的两边都是积的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠乘的方法。

证明：∵a、b、c ∴ 以上三个不等式两边分别相乘，便得（a+b)(b+c)(c+a) 8abc例7 已知a2，求证：
1 分析所证的不等式是积小于一个常数，则可考虑逆用均值不等式。

证明：∵a2 ∴ 0， 0 ∴ = =1 例8 设a、b 且a+b=1，求证：
分析所证不等式左边是和的形式，若顺用均值不等式，则不但不能利用已知条件配凑，而且不等号方向也与所证相反。平方后，由于能产生积的形式，给利用"和是定值"创造条件，且不等号方向也与所证相同。

证明：∴a、b 且a+b=1 ∴（） =2（a+b)+2+2 =4+2 ∴ 从以上堵例可以看出，用均值不等式解决问题时，需仔细审题，认准特征，对症下药。